Да ли су амплитуде квантних стања увек реални бројеви?

/ / Објављена у Куантум Информатион, ЕИТЦ/КИ/КИФ Куантум Информатион Фундаменталс, Први кораци, преглед

У области квантних информација, концепт квантних стања и њихових повезаних амплитуда је темељ. Да бисмо одговорили на питање да ли амплитуда квантног стања мора бити реалан број, неопходно је размотрити математички формализам квантне механике и принципе који управљају квантним стањима.

Квантна механика представља стање квантног система користећи математички објекат познат као таласна функција или вектор стања, који се обично означава са ( пси ) (пси) или ( кет{пси} ) у Дираковом запису. Овај вектор стања налази се у комплексном векторском простору који се назива Хилбертов простор. Елементи овог простора, вектори стања, су генерално функције комплексне вредности.

Амплитуда квантног стања односи се на коефицијенте који се појављују у експанзији вектора стања у смислу изабране основе. За квантни систем описан вектором стања ( кет{пси} ), ако ово стање изразимо као основу ( { кет{пхи_и} } ), имамо:

[ кет{пси} = сум_и ц_и кет{пхи_и} ]

Овде су (ц_и) комплексне амплитуде повезане са основним стањима (кет{пхи_и}). Ове амплитуде ( ц_и ) су, генерално, комплексни бројеви. Ово је директна последица захтева да простор унутрашњег производа буде потпун и да се прилагоди принципима квантне суперпозиције и интерференције.

Сложена природа амплитуда је важна из неколико разлога:

1. Принцип суперпозиције: Квантна механика дозвољава суперпозицију стања. Ако су (кет{пси_1}) и (кет{пси_2}) два важећа квантна стања, онда било која линеарна комбинација (алфа кет{пси_1} + бета кет{пси_2}), где су (алфа) и (бета) комплексни бројеви, је такође валидно квантно стање. Комплексни коефицијенти ( алфа ) и ( бета ) представљају амплитуде одговарајућих стања у суперпозицији.

2. Тумачење вероватноће: Вероватноћа мерења одређеног исхода у квантном систему одређена је модулом на квадрат амплитуде. Ако је ( ц_и ) амплитуда стања ( кет{пхи_и} ), вероватноћа ( П_и ) мерења стања ( кет{пхи_и} ) је дата са:

[П_и = |ц_и|^2 = ц_и^* ц_и]

где је (ц_и^*) комплексни коњугат од (ц_и). Ова вероватноћа мора бити реалан број између 0 и 1, али сама амплитуда ( ц_и ) може бити сложена.

3. Интерференце Еффецтс: Комплексна природа амплитуда је неопходна за описивање феномена интерференције. Када се два или више квантних путања интерферирају, резултујућа амплитуда је збир појединачних амплитуда, а фазна разлика између ових комплексних амплитуда доводи до конструктивне или деструктивне интерференције. Ово је фундаментални аспект феномена као што је експеримент са двоструким прорезом.

4. Унитарна еволуција: Временском еволуцијом квантног стања управља Шредингерова једначина, која укључује Хамилтонов оператор. Решења ове једначине су генерално сложене функције. Унитарни оператори који описују еволуцију чувају норму вектора стања, али могу да измене његову фазу, што захтева да амплитуде буду сложене.

Да бисмо илустровали ове тачке, размотримо једноставан пример кубита, основне јединице квантне информације. Кубит може бити у суперпозицији основних стања (кет{0}) и (кет{1}):

[ кет{пси} = алфа кет{0} + бета кет{1} ]

Овде су (алфа) и (бета) комплексни бројеви такви да је ( |алфа|^2 + |бета|^2 = 1). Овај услов нормализације обезбеђује да је укупна вероватноћа проналажења кубита у било ком стању (кет{0}) или (кет{1}) 1. Комплексна природа (алфа) и (бета) омогућава богату структуру квантних стања и од суштинског је значаја за квантно рачунање и задатке обраде информација.

На пример, размотрите Адамардову капију, фундаменталну квантну капију која се користи за стварање суперпозицијских стања. Када се примени на основно стање (кет{0}), Адамарова капија производи стање:

[ кет{+} = фрац{1}{скрт{2}} (кет{0} + кет{1})]

Овде је амплитуда и за ( кет{0} ) и ( кет{1} ) ( фрац{1}{скрт{2}} ), што је реалан број. Међутим, ако применимо Адамарову капију на стање ( кет{1} ), добијамо:

[ кет{-} = фрац{1}{скрт{2}} (кет{0} – кет{1})]

У овом случају, амплитуда за ( кет{1} ) је ( -фрац{1}{скрт{2}} ), што је и даље реално. Без обзира на то, размотрите фазну капију, која уводи сложени фактор фазе. Фазна капија (Р(тхета)) делује на стање кубита (кет{пси} = алфа кет{0} + бета кет{1}) на следећи начин:

[ Р(тхета) кет{пси} = алфа кет{0} + бета е^{итхета} кет{1} ]

Овде је (е^{итхета}) комплексан број са јединичним модулом. Ова операција јасно показује да амплитуда стања (кет{1}) може да добије комплексан фактор фазе, наглашавајући неопходност комплексних амплитуда у квантној механици.

Даље, размотрите феномен квантне испреплетености, где је стање једне честице суштински повезано са стањем друге, без обзира на растојање између њих. Заплетено стање два кубита може се представити као:

[ кет{пси} = фрац{1}{скрт{2}} (кет{00} + е^{ипхи} кет{11})]

Овде је (е^{ипхи}) сложен фактор фазе, који показује да је релативна фаза између компоненти уплетеног стања важна за описивање својстава испреплетености.

У квантном рачунарству, употреба комплексних амплитуда је неопходна за имплементацију квантних алгоритама. На пример, Шоров алгоритам за факторисање великих целих бројева и Гроверов алгоритам за неструктурирано претраживање ослањају се на интерференцију комплексних амплитуда да би постигли своје експоненцијално убрзање у односу на класичне алгоритме.

Неопходност комплексних амплитуда је такође евидентна у контексту квантне корекције грешке. Квантни кодови за исправљање грешака, као што су Шоров код или Стеанов код, кодирају логичке кубите у заплетена стања више физичких кубита. Комплексне амплитуде у овим кодовима осигуравају да се грешке могу открити и исправити без колапса квантних информација.

Амплитуда квантног стања не мора бити реалан број. Комплексна природа квантних амплитуда је фундаментални аспект квантне механике, омогућавајући опис суперпозиције, интерференције и испреплетености. Употреба комплексних бројева је од суштинског значаја за математичку конзистентност квантне теорије и практичну имплементацију задатака обраде квантне информације.

Остала недавна питања и одговори у вези ЕИТЦ/КИ/КИФ Куантум Информатион Фундаменталс:

Погледајте више питања и одговора у ЕИТЦ/КИ/КИФ Куантум Информатион Фундаменталс

Још питања и одговора:

Ознаке: , , , , ,