Да ли је проблем заустављања Тјурингове машине решив?
Питање да ли је проблем заустављања Тјурингове машине решив је фундаментално питање у области теоријске рачунарске науке, посебно у домену теорије сложености и одлучивости рачунара. Проблем заустављања је проблем одлучивања који се неформално може изразити на следећи начин: дајући опис Тјурингове машине и улаз, одредите да ли ће се Тјурингова машина на крају зауставити када се покрене са тим улазом или ће радити заувек.
Да бисмо се позабавили решавањем проблема заустављања, неопходно је разумети сам концепт одлучивости. За проблем се каже да се може решити ако постоји алгоритам који може дати тачан одговор да или не за сваку инстанцу проблема у коначном временском периоду. Супротно томе, проблем је неодлучив ако такав алгоритам не постоји.
Проблем заустављања је први увео и доказао да је неодлучив Алан Туринг 1936. Тјурингов доказ је класичан пример аргумента дијагонализације и укључује паметну употребу самореференци и контрадикције. Доказ се може приказати на следећи начин:
1. Претпоставка одлучивости: Претпоставимо, ради контрадикције, да постоји Тјурингова машина (Х) која може да реши проблем заустављања. То јест, ( Х ) узима као улаз пар ( (М, в) ), где је ( М ) опис Тјурингове машине и ( в ) је улазни низ, а ( Х(М, в) ) враћа " да" ако (М) стане на (в) и "не" ако (М) не стане на (в).
2. Конструкција парадоксалне машине: Користећи ( Х ), конструишите нову Тјурингову машину ( Д ) која узима један улаз ( М ) (опис Тјурингове машине) и понаша се на следећи начин:
– ( Д(М) ) ради ( Х(М, М) ).
– Ако ( Х(М, М) ) врати „не“, онда ( Д(М) ) се зауставља.
– Ако ( Х(М, М) ) врати „да“, онда ( Д(М) ) улази у бесконачну петљу.
3. Самореференција и контрадикција: Размотрите понашање (Д) када му је дат сопствени опис као улаз. Нека је (д) опис (Д). Затим имамо два случаја:
– Ако (Д(д)) стане, онда према дефиницији (Д), (Х(д,д)) мора да врати „не“, што значи да (Д(д)) не би требало да се заустави – контрадикција.
– Ако се (Д(д)) не заустави, онда по дефиницији (Д), (Х(д,д)) мора да врати „да“, што значи да (Д(д)) треба да се заустави – опет, контрадикција .
Пошто оба случаја доводе до контрадикције, почетна претпоставка да (Х) постоји мора бити нетачна. Стога је проблем заустављања неодлучан.
Овај доказ показује да не постоји општи алгоритам који може да реши проблем заустављања за све могуће Тјурингове машине и улазе. Неодлучивост проблема заустављања има дубоке импликације на границе израчунавања и оно што се може алгоритамски одредити. То показује да постоје инхерентна ограничења за оно што се може израчунати, а неки проблеми су ван домашаја било ког алгоритма.
Да бисте додатно илустровали импликације проблема заустављања, размотрите следеће примере:
- Верификација програма: Можда желите да проверите да ли се дати програм завршава за све могуће улазе. Због неодлучности проблема заустављања, немогуће је креирати програмски верификатор опште намене који може да одреди, за сваки могући програм и унос, да ли ће се програм зауставити.
- Анализа безбедности: У сајбер безбедности, можда ћете желети да анализирате да ли ће део малвера на крају престати да се извршава. Неодлучивост проблема заустављања имплицира да не постоји општи алгоритам који може да одреди да ли ће се неки малвер зауставити.
- Математички докази: Проблем заустављања је везан за Геделове теореме о непотпуности, које наводе да у сваком довољно моћном формалном систему постоје истините изјаве које се не могу доказати унутар система. Неодлучивост проблема заустављања показује да постоје питања о понашању алгоритама на која се не може одговорити у оквиру алгоритамског прорачуна.
Неодлучивост проблема заустављања такође доводи до концепта редуцибилност у теорији сложености рачунара. За проблем (А) се каже да се своди на проблем (Б) ако се решење за (Б) може користити за решавање (А). Ако је проблем заустављања био решив, онда би се многи други неодлучиви проблеми такође могли решити свођењем на проблем заустављања. Међутим, пошто је проблем заустављања неодлучив, сваки проблем који се може свести на проблем заустављања је такође неодлучив.
Проблем заустављања Тјурингове машине је неодлучив. Овај резултат је камен темељац теоријске компјутерске науке и има далекосежне импликације на наше разумевање рачунања, алгоритамских ограничења и природе математичке истине.
Остала недавна питања и одговори у вези Могућност одлучивања:
- Може ли трака бити ограничена на величину улаза (што је еквивалентно томе да је глава Тјурингове машине ограничена да се креће изван улаза ТМ траке)?
- Шта значи да различите варијације Тјурингових машина буду еквивалентне у рачунарским способностима?
- Може ли Тјурингов препознатљив језик формирати подскуп језика који се може одлучити?
- Ако имамо два ТМ-а који описују језик који се може одлучити, да ли је питање еквиваленције још увек неодлучиво?
- Како се проблем прихватања линеарно ограничених аутомата разликује од оног код Тјурингових машина?
- Наведите пример задатка који се може решити линеарно ограниченим аутоматом.
- Објаснити појам одлучивости у контексту линеарно ограничених аутомата.
- Како величина траке у линеарно ограниченим аутоматима утиче на број различитих конфигурација?
- Која је главна разлика између линеарних ограничених аутомата и Тјурингових машина?
- Опишите процес трансформације Тјурингове машине у скуп плочица за ПЦП и како ове плочице представљају историју израчунавања.
Погледајте више питања и одговора у Децидабилити