Објаснити појам сводљивости и његову улогу у доказивању неодлучности.
Редуцибилност је фундаментални концепт у теорији сложености рачунара који игра важну улогу у доказивању неодлучности. То је техника која се користи за утврђивање неодлучивости проблема свођењем на познати неодлучиви проблем. У суштини, редуцибилност нам омогућава да покажемо да ако бисмо имали алгоритам за решавање проблема у питању, могли бисмо га користити за решавање познатог неодлучивог проблема, што је контрадикција.
Да бисмо разумели редуцибилност, хајде да прво дефинишемо појам проблема одлучивања. Проблем одлуке је рачунарски проблем који захтева одговор да/не. На пример, проблем одређивања да ли је дати број прост или сложен је проблем одлуке. Проблеме одлучивања можемо представити као формалне језике, где су низови у језику случајеви за које је одговор „да“.
Сада, размотримо два проблема одлучивања, П и К. Кажемо да је П редуцибилно на К (означено као П ≤ К) ако постоји израчунљива функција ф која трансформише инстанце П у инстанце К на такав начин да је одговор за инстанцу к од П је "да" ако и само ако је одговор на ф(к) од К "да". Другим речима, ф чува одговор на проблем.
Кључна идеја која стоји иза редуцибилности је да ако можемо свести проблем П на проблем К, онда је К барем једнако тежак као П. Ако бисмо имали алгоритам за решавање К, могли бисмо га користити, заједно са редукционом функцијом ф, да решимо П. То значи да ако је К неодлучиво, онда и П мора бити неодлучиво. Дакле, редуцибилност нам омогућава да „пребацимо“ неодлучивост са једног проблема на други.
Да бисмо доказали неодлучивост коришћењем редуцибилности, обично почињемо са познатим неодлучивим проблемом, као што је проблем заустављања, који пита да ли се дати програм зауставља на датом улазу. Затим показујемо да ако бисмо имали алгоритам за решавање нашег проблема од интереса, могли бисмо га користити да решимо проблем заустављања, што доводи до контрадикције. Ово утврђује неодлучност нашег проблема.
На пример, хајде да размотримо проблем одређивања да ли дати програм П прихвата било какав унос. Проблем заустављања можемо свести на овај проблем конструисањем функције редукције ф која узима као улаз програм К и улаз к, и даје програм П који се понаша на следећи начин: ако се К заустави на к, онда П прихвата било који улаз; у супротном, П улази у бесконачну петљу за било који улаз. Ако бисмо имали алгоритам за решавање проблема утврђивања да ли П прихвата било који улаз, могли бисмо да га употребимо да решимо проблем заустављања тако што бисмо га применили на ф(К, к). Стога је проблем одређивања да ли програм прихвата било који унос неодлучив.
Редуцибилност је моћна техника у теорији сложености рачунара која нам омогућава да докажемо неодлучивост проблема свођењем на познати неодлучиви проблем. Успостављањем редукције са проблема П на проблем К, показујемо да је К бар онолико тежак колико и П, а ако је К неодлучиво, онда и П мора бити неодлучиво. Ова техника нам омогућава да пренесемо неодлучивост између проблема и пружа вредан алат за разумевање граница израчунавања.
Остала недавна питања и одговори у вези Могућност одлучивања:
- Може ли трака бити ограничена на величину улаза (што је еквивалентно томе да је глава Тјурингове машине ограничена да се креће изван улаза ТМ траке)?
- Шта значи да различите варијације Тјурингових машина буду еквивалентне у рачунарским способностима?
- Може ли Тјурингов препознатљив језик формирати подскуп језика који се може одлучити?
- Да ли је проблем заустављања Тјурингове машине решив?
- Ако имамо два ТМ-а који описују језик који се може одлучити, да ли је питање еквиваленције још увек неодлучиво?
- Како се проблем прихватања линеарно ограничених аутомата разликује од оног код Тјурингових машина?
- Наведите пример задатка који се може решити линеарно ограниченим аутоматом.
- Објаснити појам одлучивости у контексту линеарно ограничених аутомата.
- Како величина траке у линеарно ограниченим аутоматима утиче на број различитих конфигурација?
- Која је главна разлика између линеарних ограничених аутомата и Тјурингових машина?
Погледајте више питања и одговора у Децидабилити